Глава I

Предварительные сведения

Цель данной главы – напомнить понятия и основные сведения из курсов математического анализа, алгебры, геометрии, функционального анализа, которые будут использоваться при изложении основного материала.

§1.1. Элементы функционального анализа и дифференциального

исчисления

1.1.1. Понятие функции

Определение 1.1. Если каждому элементу  из множества  по некоторому правилу ставится в соответствие единственный элемент  из , то говорят, что на множестве  задано отображение (функция, оператор) , действующее из  в , при этом множество  называется областью определения отображения ,  называется образом ,  называется прообразом элемента  и записывается так: . Множество  называется областью значений функции.

Определение 1.2. Отображение , где – расширенная действительная (вещественная) прямая, то есть совокупность всех действительных чисел, дополненная значениями  и , называется функционалом.

Определение 1.3. Если , то  называется функцией, действующей из множества , если , то  определена на :  существует единственное . Если  существует единственное , то функция называется взаимнооднозначной. Если  определена на  и взаимнооднозначна на нем, то  называется биекцией.

Определение 1.4. Обратной функцией называется функция, ставящая в соответствие каждому  из области определения  из области значений, такое что . Обозначается .

Определение 1.5. Пусть , , . Тогда можно говорить о значении функции  от функции  на области определения функции :  на . Функция  называется сложной функцией, или суперпозицией функций  и .

Определение 1.6. Пусть – числовое множество. Тогда

1.     Если , то  – верхняя грань множества ;

2.     Если , то  – нижняя грань множества ;

3.     Если для множества  существуют ,  – нижняя и верхняя грани, то – ограничено, то есть .

Определение 1.7. Наименьшая верхняя грань множества называется точной верхней гранью и обозначается:  – супремум множества . Наибольшая нижняя грань множества называется точной нижней гранью и обозначается: – инфимум множества .

Определение 1.8. Супремум функции  на промежутке  равен : , если 1) ; 2)  . Инфимум функции  на промежутке  равен : , если 1) ; 2)  .

Определение 1.9. Функция , определенная на , называется непрерывной в точке , если .

По Коши:  непрерывна в точке , если  . Функция  называется непрерывной на промежутке , если  непрерывна. Функция  называется непрерывной на множестве , если  .